🕒 4 min
S obzirom da bi se nekima od vas ovakav naslov mogao činiti još dodatno heretičkim zbog datuma objave, skrenut ću vam pažnju na produžetak njegova značenja prije nego vam krv zaključa – nekad je sasvim opravdano, pa čak i bitno, koristiti aproksimacije, ali i razaznati kad i kako.
Bitno je napomenuti da ovdje ne govorimo o ekstremnoj, često izrugivanoj verziji naslova, zbog koje bi bilo valjano pustiti krv da vrije: π = 3. Nisu svi znakovi „jednakosti“, pa, jednaki. Zapravo, postoji samo jedan znak jednakosti, a radi se upravo o onome koji je ranije (netočno) iskorišten. Ono što nas zanima je rođak jednakosti, aproksimacija, kao i zašto je uistinu opravdano koristiti π ≈ 3.
Aproksimiranje je korisna vještina koja često ostane zapuštena tijekom školovanja. Ona je svojevrsno produljenje vašeg prirodnog osjećaja za količinu. Međutim, raspoznavanje velikih količina ne dolazi nam osobito prirodno. Možda ste čuli da količine percipiramo logaritamski, u smislu da dodatak jednog člana nema uvijek jednaku težinu, već se njegov doprinos izgubi kako ukupni članovi postaju brojniji. Također nemamo dobar osjećaj za to koliko su ogromni brojevi zapravo veliki. Ovdje vam je možda isto poznato koliko je šokantna razlika između milijuna i milijarde sekundi kad ih se pretvori u smislenije mjerne jedinice (ako kojim slučajem niste, pokušajte pogoditi pa provjerite). Ipak, ne moramo se oslanjati na nagađanje. Aproksimiranje je vještina koju možemo uvježbati – i to dobro.
Vrijednost aproksimacije ovisi o tome koliko blizu točnoj vrijednosti želimo biti da bismo dobili prihvatljiv rezultat, a to ovisi o cilju koji imate i koliko vam je vremena na raspolaganju. Bitno je sjetiti se da svaki eksperiment daje tek aproksimaciju stvarne vrijednosti onoga što mjerite, unutar granica preciznosti korištena instrumenta. Ovdje se može raspravljati o tome jesu li neki eksperimentalni rezultati toliko precizni da ih se uopće ne treba tretirati kao aproksimacije u nekim primjenama (iako je uvijek dobro imati njihovu stvarnu prirodu na umu).
Ako govorimo o broju pi, svaki njegov decimalni zapis koji ste ikad vidjeli očito je bio aproksimacija. 3,14 bliže je stvarnoj vrijednosti broja pi nego 3 – dosta drastično bliže, dapače – ali nikako je zapravo ne dostiže. Čak i kad bismo uzeli sve desetke bilijuna decimala koje su dosad izračunate, ne bismo dobili pi. Međutim, i ne moramo. Ponekad je pravo vrijeme za primjenu aproksimacija. Izrazito je bitno održavati formalne, apstraktne izraze jasnima i maksimalno preciznima, ali znanost se bavi stvarnim svijetom. To znači da će u svojoj primjeni uvijek naići na odstupanja – nijedan realni krug ne odgovara apstraktnoj matematičkoj ideji savršeno glatkoga kruga, nijedno mjerenje neće biti beskrajno precizno i ne postoji količina decimala broja pi koja će biti „točnija“ od samoga grčkog slova π.
Ako se bavite nečim svakodnevnim i potreban vam je pi, aproksimiranjem kao 3,14159 gotovo će vam sigurno biti i više nego dovoljno. Ako se, pak, bavite obradom podataka dobivenih nekim eksperimentom i tražite brojčani rezultat, prethodnim aproksimiranjem možete izbjeći da se pogubite u analizi. Morate znati da možete vjerovati rezultatu koji dobijete, zbog čega je nužno da znate što očekujete.
Naposljetku, dolazimo do situacija u kojima jednostavno trebate brzo dobiti dojam o nekoj količini s minimalnim zahtjevima za preciznošću. Tada je osobito korisno razumjeti redove veličina. O njima možete razmišljati kao o potencijama nekog lijepog, osobito korisnog broja, a koje približno odgovaraju traženom broju. U znanstvenom se zapisu to očituje kao potencija broja 10, no nema razloga da se zadržavate na tome. Ako vam je jednostavno potrebna gruba ideja o nekakvoj količini – ako, na primjer, kupujete velike količine nečega – prije nego što se posvetite preciznijem (i dugotrajnijem) računu, možete odabrati bazu koja vam najbolje odgovara. Sve ovo također znači da, ako radimo s potencijama broja 10, o π čak ne moramo razmišljati kao o 3, već kao o 1.
Dotakli smo se pravog značaja aproksimacija poput π ≈ 3 ili π² ≈ g ili bilo kojeg drugog izbora koji odgovara problemu – aproksimaciju veća preciznost ne čini nužno boljom. Njena je važnost u dolasku do pravih zaključaka najsmislenijim putem, uz unapređenje one dosta nepouzdane ljudske procjene (iako i procjenjivanje nekog iznosa igra vrlo važno ulogu, osobito kod svega što se ne može pravilno aproksimirati, no to je priča za neki drugi put). Samo pažljivo da ne tvrdite da vrijede kakve nevažeće jednakosti; u protivnom nekome krv već krčka.
Jeste li uživali? A naučili nešto novo? Ili se samo želite pohvaliti brojem decimala broja pi koje ste zapamtili? Što god bilo, slobodno nam javite!
Za kraj, ako niste imali priliku proslaviti najslavniju aproksimaciju broja pi 14. ožujka, možda se možete veseliti čak i boljoj prilici da nadoknadite taj gubitak – 22. srpnja.
Želiš još?
Evo nekoliko poznatih (i ne toliko poznatih) zadataka za vježbanje aproksimacija:
Koliko decimala broja pi biste trebali da duljinu ekvatora izračunate točno do razine promjera atoma vodika?
Koliko atoma vodika možete poredati na promjeru vlasi ljudske kose?
Koliko si teži od čestice koronavirusa?
Kad bi svi ljudi krenuli trčati jednakom brzinom, koliko bi brzo morali trčati da im zajednička kinetička energija bude jednaka energiji kojom Sunce zrači u jednoj godini?
A evo i jedna neizbježna preporuka:
