? 5 min
Tri je broj, zar ne? Kao i pi, korijen iz dva ili i. Ipak, cijela je poanta matematike apstrakcija, pa kako apstrahiramo koncept broja? Kako ispravno definiramo brojeve?
Za početak
U školi ste vjerojatno čuli “intuitivnu” definiciju prirodnih brojeva kao “brojeva za stvari koje možemo izbrojati”. Obično počinju s jedinicom i onda se povećavaju za jedan te tako idu u beskonačnost. Obično je to zapisano ovako: ℕ = {1, 2, 3, …}. Onda se uvodi koncept cijelih brojeva kao unije skupa ℕ s {0} i -ℕ, što pišemo kao ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Racionalni brojevi dobiju bolju definiciju u srednjoj školi, gdje se definiraju kao razlomci cijelih i prirodnih brojeva, tj. ovako: ℚ = {m/n: m ∈ ℤ, n ∈ ℕ}, a uglavnom se u srednjim školama i ne zaranja u to kako su realni brojevi definirani (često kao “sve što se ne može zapisati kao razlomak”, ali to uopće nije istinito!), a kompleksni brojevi su samo “stvari koje možeš dobiti od korijena broja -1”.
Ipak, te definicije nisu pretjerano korisne, a sigurno nisu dovoljno apstraktne da bismo ih same po sebi proučavali.
Zašto uopće trebamo definirati broj?
Da, možemo jednostavno reći da je broj “matematička apstrakcija koncepta veličine skupa objekata”, kao što to čine rječnici, ali dobra definicija omogućila bi nam da proučavamo svojstva koncepta, ne pojedinačnih brojeva. Nadalje, kako je matematika jako formalna disciplina, reći da nešto samo jest… nije prihvatljivo.
Ali brojevi su jako kompleksan koncept. Zbilja, razmisli o tome na sekundu. Tri, bez ikakva dodatna konteksta, nema nikakva značenja u svakodnevnom govoru. “Tri jabuke” ima smisla, ali samo “tri” nema. Nema “tri” nigdje u svijetu, ali moglo bi biti “tri nečega”.
Prvo skupovi
Stoga, da bismo počeli definirati što broj jest, pogledajmo strukturu koja ga okružuje: na isti način na koji ne definiramo vektor sam po sebi, nego samo vektorski prostor – i onda kažemo da je vektor “element vektorskog prostora”. (Vektorski prostor, ako niste upoznati, također se definira na sličan način – pomoću aksioma.) Slično, brojeve isto nema puno smisla definirati pojedinačno, stoga počinjemo s promatranjem skupa prirodnih brojeva. Uočavamo uzorak: svaki broj ima sljedbenika (uvijek ima veća riba veći broj), ali nije svaki broj sljedbenik nekog broja: počinjemo s 1 i nema ničega manjeg od 1: ništa što bi mu prethodilo.
No to nam samo po sebi nije dovoljno: ova dva svojstva skupa prirodnih brojeva ne definiraju samo skup prirodnih brojeva – ona ostaju istinitima i u nekim drugim skupovima koji nemaju svojstva kao prirodni brojevi: primjerice, zadovoljit ćemo ih ako definiramo skup {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, …} te kažemo da je u njemu sljedbenik od x broj x+1. Ipak, ovo nije skup prirodnih brojeva – a nije ni da su zapravo nalik (formalno, nisu slični, u smislu da ne možemo konstruirati bijekciju koja čuva uređaj i njen inverz čuva uređaj, pri čemu je uređaj fancy matematička riječ za poredak). Stoga, treba nam nešto jače.
Srećom, princip matematičke indukcije vrijedi za prirodne brojeve. Ako niste upoznati s indukcijom, to je ideja da ako možeš dokazati da je nešto istina za n=1 i koristeći samo pretpostavku da to vrijedi za neki općenit n dokazati da vrijedi i za n+1, onda da si zapravo dokazao/la da vrijedi za svaki prirodan broj n.
Ove tri stvari dovoljne su da definiramo prirodne brojeve, a prvi ih je formalizirano talijanski matematičar Giuseppe Peano i zovu se “Peanovim aksiomima”. Objavio ih je u nešto drugačijem obliku, ali uglavnom se iskazuju slično ovome, sa samo daškom matematičke formalnosti da drži naše ideje u smislenijoj notaciji 🙂
Ako te zanima kako se to zapisuje:
- Za sve prirodne brojeve n, postoji jedinstven sljedbenik n+ u prirodnim brojevima i ako n+ = m+, tad n = m.
- Postoji prvi element skupa prirodnih brojeva, tj. 1 ∈ ℕ. To je jedini* element skupa prirodnih brojeva koji nije sljedbenik nijednog prirodnog broja.
- Vrijedi princip matematičke indukcije:
Neka je S podskup od ℕ takav da:
- 1 ∈ S
- Za sve n ∈ ℕ, n ∈ S povlači n+ ∈ S
Tada S = ℕ.
Naravno, ove stvari su istina i u nekim drugim skupovima. Ako definiramo 1 = ∅ i n+ = {n}, dobivamo skup {∅, {∅}, {{∅}}, …} – i ti aksiomi su tamo također istiniti.
Napomena: riječ “jedini” u * sprječava da nam primjer {0, 0.5, 1, 1.5, …} upali, ali se uglavnom ne navodi u Peanovim aksiomima. To ovisi o tome kako se Peanovi aksiomi iskazuju. Pogledaj https://math.stackexchange.com/questions/132855/why-do-we-take-the-axiom-of-induction-for-natural-numbers-peano-arithmetic za više informacija oko ovoga.
Kako je to bolje?
Jednostavno je: zato što znači da su isti zaključci valjani bez obzira na to razmišljamo li o 1 kao o praznom skupu (što nam omogućuje da definiramo operacije i proučavamo skupove na lakše shvatljiv način (što znam da zvuči vrlo protuinituitivno)) ili o 1 kao “samo jednoj stvari” intuitivno. Ovo nas vodi zaključku da nije poanta u broju samome – više je o strukturama koje brojevi čine zajedno. Dokazati svojstvo broja 3 nije pretjerano zanimljivo (jednostavno je dokazati da je 3 prost: sigurno jesi nekad u životu), ali dokazivanje svojstava koja su istinita za skupove brojeva korisnije je (kako je općenitija izjava) i zabavnije, da budemo iskreni 🙂
Možemo ići dalje!
Dokle znaš brojati? Ako si dijete (čestitke što čitaš ovaj blog u tom slučaju! :D), možda do milijun? Ako si odrasla osoba, reći ćeš… pa, valjda do beskonačnosti. Ali, kako svatko tko je pročitao Grešku u našim zvijezdama zna, nisu sve beskonačnosti jednake. Stoga, do koje beskonačnosti znaš brojati?
Bismo li mogli apstrahirati prirodne brojeve još dalje? Bi li nam to dalo na neki način bolju definiciju? Kako bismo uopće definirali realne brojeve? Jesu li ovo zapravo netrivijalna matematička pitanja?
Odgovor na prvo, drugo i posljednje pitanje jest da, a odgovori na njih (i načini kako smo do njih došli) stvarno su zanimljivi. Zajedno s pitanjem “što je zapravo skup?”, što je nešto čega se nismo doticali ovdje, nego smo samo uzimali zdravo za gotovo kao nešto što jednostavno znamo (a zbilja je dobro pitanje za postaviti!), ova pitanja izgradila su cijele grane matematike i putem dovela do nekih šokantnih otkrića.
Možda je to priča za neki drugi post, možda će ovaj dobiti nastavak ako vam se svidi, ali da si imate za razmišljati, završit ću zagonetkom.
Postoji selo u kojem brijač brije svaku osobu koja ne brije samu sebe. Tko brije brijača?
Javite nam odgovor u komentarima.
Jedan odgovor na “Što je broj?”
Dodatak za one vrlo zainteresirane: pitanje jesu li Peanovi aksiomi dovoljni da jednoznačno definiraju N je vrlo zanimljivo. Više o tome možete pročitati na Math Stack Exchange, ali ukratko: trebamo nešto bolje od toga kako bismo definirali N (do na izomorfizam algebarskih struktura) jednoznačno. Poanta ovog posta bila je objasniti zašto se matematika ne bavi eksplicitnim definiranjem koncepata poput brojeva, vektora i slično, kako se to obilazi i što se događa kad pokušavaš definirati stvari koje uzimaš zdravo za gotovo, što mislim da ovaj post svejedno prenosi. Nažalost, isti bi bio predugačak da smo htjeli biti jako precizni, stoga su neke stvari izostavljene radi prenošenja poruke (a i kako bih izbjegao pisanje uvoda u teoriju skupova čitatelju)